REFLETINDO SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DO NÚMERO DE EULER e

 

 Arruda, Evilásio José de - UFMT

josearruda@terra.com.br

 

Texto: Comunicação Oral – Educação Matemática.  

 

Durante milênios o homem usou e ainda utiliza os números para contar, medir, calcular bem como estabelecer relações entre grandezas (comprimento, área, volume etc.). A curiosidade natural do homem e a necessidade de se relacionar economicamente o conduziram a especular as características, a natureza e as propriedades dos números.       

É necessário conhecer como também compreender os mecanismos de funcionamento, bem como, as interações intrínsecas e extrínsecas do fenômeno chamado número. Desvendar o véu de suas relações com as coisas cósmicas, torna-se necessário e cada vez mais obrigatório para conviver com as eventualidades da natureza, este fato foi desejado pelos pensadores antigos e ainda fervilha na mente dos pesquisadores atuais.

Entender a construção do conceito do número e, a função exponencial de base e, bem como sua derivada pode nos remeter a discussão dos fundamentos dos números reais, e isso nos coloca no interior do processo de compreensão da continuidade e também na correspondência entre números e pontos da reta, que é muito importante para a fundamentação teórica da Matemática.

Nos livros do ensino médio e superior, o tratamento dado ao número e no aspecto da compreensão de sua importância, bem como na questão do seu significado está sendo discutido de forma superficial. O que normalmente se vê são as mesmas definições descontextualizadas e algumas aplicações vagas, de forma que não aparece uma discussão coerente sobre as variedades de suas definições e de sua natureza.

É apresentado o valor do número e como um número irracional que é resultado de uma expressão ou definindo-o por meio da integral, e a parir daí, constrói-se o logaritmo de base e, chamado logaritmo natural, que tem todas as propriedades do logaritmo comum.

Em seguida aplica-se o logaritmo na base e, a função exponencial de base e, e sua derivada em várias áreas do conhecimento, deixando uma lacuna epistemológica na construção do conceito desse número, e esta postura pode dificultar o processo de assimilação desse conceito.

Na Matemática existem números que desencadearam discussões importantes no aspecto teórico da fundamentação da Matemática e na aplicação de resoluções de problemas do cotidiano. A raiz quadrada de dois, que é irracional (incomensurável) provocou uma extensão dos números racionais e o número (pi) está diretamente ligado a formas circulares.

A construção da raiz quadrada de dois e do número , assim como o número de ouro tem sido muito relatados em livros do ensino fundamental até no ensino superior, pois, são números que recuam a antiguidade e não dependem de um conhecimento “avançado” de matemática.

Em relação ao número e isso não ocorreu, provavelmente devido ao fato dele ser mais jovem, pois, sua história está muito ligada ao cálculo, assunto tradicionalmente considerado como a entrada para a Matemática “superior”. 

O número e é irracional e isso vai possibilitar a construção dos números reais que trata da continuidade da reta e dos números, que é importante e necessário para estabelecer os fundamentos da Matemática.

         A compreensão das diferentes maneiras de definir o número e, assim como discutir as equivalências dessas definições, torna-se relevante, pois, propicia condições de escolha mais adequada, seja nas aplicações ou nas provas de sua irracionalidade. Pretendemos construir uma explicação geométrica que evidencie a necessidade e importância do estudo desse número, tornando-o suscetível de uma compreensão mais significativa.

Com este intuito citaremos o número de Leonhard Euler (1707–1783) e que é definido pela expressão:

e =  = 1 + 1 +  +  +  + ... + +...

Esta série representa um somatório de frações de valores cada vez menores e este somatório pode ser representado por:

S= 2++ +  + ... .

Vamos construir uma explicação geométrica que justifica a não-racionalidade do número e. Este somatório S representa uma série infinita que generaliza o conceito de soma infinita.

Determinando seus primeiros termos, teremos os seguintes valores:

S1= 2;                      

S2= 2+ = =2,5;

S3= 2+ +=  2,66...;       

            S6= 2 +  +  + ++=2,7180555....

E assim sucessivamente.  Percebemos que os termos da série a partir de S6 ficam cada vez mais próximos uns dos outros. Podemos mostrar também que o somatório S=e= nos permite construir infinitos intervalos fechados do tipo In=[a,b],  com extremidades racionais, de forma que o valor aproximado de e, ou seja, 2,718281828...   esteja contido em todos os intervalos.

Os primeiros intervalos a serem construídos serão I1=[2,3] e I2=[,3]. O fato de S ser maior que 2 (S>2) e maior que  (S>) é óbvio, pois S1 já foi igual a 2 e S2 é  Para mostrar que S é menor que 3 faremos:

S= 2++ +  + ...

S < 2 + = +

S < +S < 3.

Então podemos dizer que 2 < e <3 assim como < e <3.

Agora construiremos mais dois intervalos I3=[,] e I4=[,].

S= 2++ +  ++ ...

S < =

S < = , então .

O quarto intervalo será obtido da mesma forma:

S= 2++ +  ++ ...

S < =

S < = , então .  

Podemos proceder de forma análoga e construir tantos intervalos quanto se queira.

Representando cada um dos intervalos I1, I2, I3 e I4 numa reta numerada, teremos uma figura da forma (SONDOW, 2005, p.1): 

O comprimento de cada intervalo é . Será que existe um número racional para o qual o somatório  converge? Se existe, como garantir a unicidade desse número?

Os números irracionais podem também ser obtidos pela criação de uma regra de formação não-periódica, por exemplo: usando apenas os algarismos zero e 4 podemos formar um número irracional, colocando o 4 seguido de um zero, depois o 4 seguido de dois zeros e assim sucessivamente, formando o número x=0,40400400040000....

Quais serão as diferenças de natureza quanto à irracionalidade de: x=0,40400400040000..., diagonal do quadrado de lado unitário ,  e o número de Euler e? Como garantir de fato, o sentido da possível existência dos números irracionais? Está claro que na reta existem pontos que representam números e que estes não podem ser expressos na forma de fração.      

Dedekind (1831–1916) em sua obra Essays on the Theory of Numbers.1963, p. 9 declara:

Podemos afirmar que a reta é infinitamente mais rica em pontos que o conjunto dos números racionais o é em números. Portanto, os números racionais não bastam para poder seguir aritmeticamente todos os fenômenos sobre a reta e é, por conseqüência, indispensável aperfeiçoar o instrumento racional, criando novos números, de modo que o campo dos números assim adquiridos seja tão completo, ou, tão contínuo como a reta.    

     

 As concepções finitista dos gregos não permitiram avanço na compreensão dos conceitos de números irracionais (CARAÇA, 1956, p. 87). Somente a partir do século XVI que foram retomados as discussões a respeito do processo de funcionamento da continuidade. Pensadores dessa época como Galileu (1564–1642) e Leibniz (1646–1716) usaram os instrumentos matemáticos como números e funções, trabalhando com a continuidade do movimento, pois, julgavam que a continuidade dos pontos sobre a reta era conseqüência da densidade dos racionais. Até o início do século XVIII não havia um tratamento rigoroso que permitisse matematizar o contínuo. De fato essa compreensão nos coloca no interior do infinito bem como nos pontos da reta orientada. Com a introdução do infinito nossas explicações nos conduzem a descobertas imprevisíveis e tudo pode ficar complicado, pois, o que é o infinito? Número? Grandeza? No âmago da fundamentação da matemática e consequentemente na compreensão da continuidade da reta, está a teoria dos números, que foram axiomatizados no final do século XIX pelo matemático Giuseppe Peano.

           Os números racionais podem ser introduzidos por meio da generalização dos números naturais através de pares ordenados, porém apresentaremos processos de construções de números que estão na reta e que não são racionais, ou seja, os irracionais que podemos chamar também de números reais. Nesta perspectiva abordaremos a construção feita por Dedekind.

 

Cortes de Dedekind

 

Dedekind tratou do contínuo numérico através do contínuo geométrico. Para isso utilizou a definição de corte, provavelmente inspirado na teoria das proporções de Eudoxo, onde percebeu a separação dos números racionais em duas partes (ÁVILA, 1993, p. 13). Sua preocupação em compreender o contínuo numérico tornou latente no início de sua carreira em 1858, quando trabalhava com Cálculo Diferencial e teve a necessidade de provar que uma função monótona e limitada, definida num intervalo, tem limite. Nesse momento percebeu a falta de uma fundamentação adequada para os números reais (DEDEKIND, 1963, p. 1).

A idéia central na construção dos números reais feita por Dedekind é a forma que ele interpretou a continuidade. Sobre isto ele diz:

Nós atribuímos à reta a qualidade de ser completa, sem lacunas, ou seja, contínua. Mas esta continuidade, em que consiste? A resposta a esta pergunta deve compreender em si tudo, e somente ela permitirá desenvolver em bases científicas o estudo de todos os campos contínuos. Naturalmente, não se consegue nada quando, para explicar a continuidade, se fala de um modo vago, de uma conexão ininterrupta nas suas partes menores; o que se procura é formular uma propriedade característica e precisa da continuidade que possa servir de base a deduções verdadeiras e próprias. Pensei nisso sem resultado por muito tempo, mas, finalmente achei o que procurava. O meu resultado será talvez julgado, por várias pessoas, de vários modos mas a maior parte, creio, será concorde em considerá-la bastante banal. Consiste no seguinte: Verificou-se que todo o ponto da reta determina uma decomposição da mesma em duas partes, de tal natureza que todo o ponto de uma delas está à esquerda de todo o ponto da outra. Ora, eu vejo a essência da continuidade na inversão desta propriedade e; portanto, no princípio seguinte: se uma repartição de todos os pontos da reta em duas classes é de tal natureza que todo o ponto de uma das classes está à esquerda de todo o ponto da outra, então existe um e só um ponto pelo qual é produzida esta repartição de todos os pontos em duas classes, ou esta decomposição da reta em duas partes (DEDEKIND, 1963, p. 10 e 11). 

Este pensamento introduz a definição de número real por meio do conceito de corte que pode ser resumida da seguinte forma:

Constatamos que um ponto A separa a reta em dois conjuntos de pontos, O conjunto P à esquerda de A, e o conjunto M à direita de A. Definindo corte racional como sendo todo par (P,M) de conjuntos não vazios de números racionais de forma que a união forme o conjunto dos números racionais e fazendo todo elemento de P ser menor que todo elemento de M. Aceitando que todo corte possui elemento de separação que pode pertencer a P como maior elemento deste conjunto ou pode pertencer a M como sendo seu menor elemento. Esta repartição garante que nenhum ponto fique fora dos conjuntos. Assim todo ponto A da reta produz um corte. Com isso define número real como sendo o elemento de separação das duas classes de um corte qualquer no conjunto dos números racionais: se existe um número racional a separar as duas classes, o número real coincidirá com esse número racional, se não for racional se chamará irracional.

Portanto, a descontinuidade pode ser caracterizada pela existência de cortes sem elementos de separação no conjunto dos números racionais. Com a união dos novos números produzidos pelos cortes não-racionais, obtemos o conjunto dos números reais, pois, os números irracionais vêm preencher as “lacunas” deixadas pelos racionais (ÁVILA, 2005, p. 58).

Para ilustrar esta construção citaremos dois exemplos:

1- Os conjuntos P={xQ tal que x2 < 2} e M={x  Q tal que x2 > 2} determina um corte que define o número irracional .

2- Os conjuntos C={x  Q tal que x > e =  } e D={xQ tal que

 x< e = } também determina um corte, que é definido pelo número irracional e 2,718281828....

         Na verdade o conceito de corte proposto por Dedekind trata de um postulado que incorpora os números irracionais ao conjunto dos números racionais formando os números reais.  

 

O Surgimento do Número e

 

   A primeira idéia do número e surgiu com o estudo de logaritmos feito por John Napier  (1550–1617) que tem seu nome gravado na história devido a uma idéia matemática abstrata que ele levou aproximadamente 20 anos para desenvolver. A linha de pensamento de Napier era o seguinte: se pudermos escrever qualquer número positivo como potência de um dado número fixo (hoje conhecido como base), então a multiplicação e a divisão e radiciação de números seria equivalente à adição ou à subtração de seus expoentes. Esta preocupação fez com que Napier quase tivesse descoberto o valor aproximado da expressão (1 +)n , conhecido hoje como o número e. Mas, o que Napier de fato fez foi chegar perto do valor de  (1-)n  para n=107 que é para n infinito, próximo de  (MAOR, 2004, 23).

   Numa versão traduzida do trabalho de logaritmos de Napier feita por Edward Wright (1618) tinha um apêndice, provavelmente escrito por William Oughtred (1574–1660) no qual aparece uma declaração equivalente a              log e 10 = 2,302585, e que este parece ser a primeira aparição do número e na Matemática (MAOR, 2004, p. 32). 

 

A Contribuição de Leonhard Euler Para Construção do Conceito do Número e

 

   Durante os séculos XVII e XVIII vários matemáticos contribuíram para o  desenvolvimento do número e. A figura central desse período foi Leonhard Euler (1707–1783). Na época existia um conceito intuitivo desse número. O estudo de Euler deu consistência rigorosa na consolidação de sua existência.   Ele derivou o número e a partir do desenvolvimento binomial, constatando que:

 e = 1 + 1 +  +  +  + ... +  + ...., chamado também, o número cujo  logaritmo hiperbólico é 1. Euler reconheceu que a soma da série e é também a base do sistema de logaritmos hiperbólicos. De forma que o número e foi usado por um período sem uma explicação coerente, pois a autoridade de Euler era tanta que as pessoas da época usavam sem questionamentos. O número de Euler e com suas aproximações estavam identificados e a sua natureza transcendental não era conhecida até a metade do século XVIII. Suas aplicações estavam sendo utilizadas na trigonometria, no cálculo, logaritmos etc, com isso, várias representações envolvendo o número e surgiram. Antes de Euler, Newton já  utilizava o valor de e através do desenvolvimento binomial (STRAIN & MITCHELL, 1936, p. 485). Euler usou a relação ex=(1+)n para escrever o número e com 23 casas decimais.

 

 

 

 

Irracionalidade do Número e

 

   Devido à estreita conexão entre os números π e e (+1=0), as investigações da natureza desses números foram alcançada praticamente ao mesmo tempo. Euler já tinha escrito e e ex com x ≠ 0 através de frações contínuas e ele observou que se a fração contínua é finita então o número é racional como e é uma fração contínua infinita então o número é irracional. (STRAIN & MITCHELL, 1936, p. 494). Em 1815 J.B Fourier deu uma prova simples da irracionalidade de e por meio de séries. Esta é uma prova tradicional encontrada atualmente na maioria dos livros desse assunto. Com o surgimento de números transcendentes, isto significa que não existe um polinômio p(x) com coeficientes inteiros, que se anule para x= e, ou seja, que tenha e como raiz. Começou o esforço para provar a transcendência de e e π. Charles Hermite (1873) provou a transcendência de e e  F. Lindeman provou a transcendência de π.

 

A Relação do Número e com os Juros Compostos

 

   Os juros como capitalizações aplicadas num valor inicial remontam desde a antiguidade. O tipo de juros em que as capitalizações são acumuladas em relação ao capital anterior são chamados juros compostos.

   Certa ocasião, o matemático Jackues Bernoulli (1654–1705) propôs o seguinte problema: “Qual é a lei que estabelece a forma como cresce  um capital, depositado em um banco a juros compostos, quando os juros são acrescidos ao capital a cada instante, isto é, quando o número de capitalizações tende a ser infinito?” Texto na linguagem moderna, acredito, pois a verdadeira prova do surgimento do número e  é obscuro (BONGIOVANNI, VISSOTO, LAUREANO, 1993, p. 303). Vamos analisar a seguinte situação. Considere hipoteticamente um capital de R$ 1,00 aplicados a juros compostos no prazo de um ano nos seguintes termos, o banco calcula o montante acumulado, não uma vez, mas várias vezes por ano. Estabelecendo M= montante, C= capital inicial, i= taxa percentual ao ano e t= número de aplicações anuais. Aplicando a fórmula M=C(1+)t para calcular o montante em que os juros são capitalizados por hora teremos:  

M=1(1+)8760  2,71182

   A expressão (1+)8760 caminha para (1+)n, deixando n tender para o infinito, podemos observar intuitivamente que os próximos resultados estacionam em torno de 2,7182.   O número de Euler “e” surge naturalmente quando o aumento ou diminuição de uma grandeza se torna proporcional ao valor da grandeza num determinado instante. O (1+)n sugere mas não garante que será 2,71828....

 Aplicando o desenvolvimento binomial na expressão (1+)n teremos:

(1 +)n = 1 + 1 +  +  +  + ... +

   As aparências sensíveis da expressão (1+)n nos conduzem a um número. Como desvendar os véus dessas aparências e chegar ao valor exato dessa expressão?

O fato de y=ex ser a única função que têm como derivada a própria função, ou seja,  é o principal motivo pelo qual este assunto aparece em várias áreas do conhecimento. O número de Euler e, e principalmente a função exponencial de base e, surge naturalmente quando o aumento ou diminuição de uma grandeza se torna proporcional ao valor da grandeza num determinado instante (MAOR, 2004, p. 136).

Esta pesquisa encontra-se em desenvolvimento, mas já é possível dizer que o número e, assim como os irracionais são tratados como objetos “que existem”, mas que na verdade, o que podemos fazer é postular sua existência, da mesma forma como construímos os axiomas dos números reais.

         Até o presente momento tratamos do desenvolvimento analítico da origem bem como das definições que envolvem o número e, e a função exponencial de base e. Temos como meta analisar as idéias centrais que perpassam nos assuntos historicamente relevantes para compreensão do número e.

Temos muitas outras fórmulas como, por exemplo, as que relacionam os números irracionais e, e o número imaginário  que são eix = cosx + isenx e eπi+ 1=0.

   Para compreender as principais conexões que envolvem número e devemos nos relacionar com signos e os signos dependem de objetos. Então a compreensão da idéia do número e, bem como suas relações são intuitivas, naturais ou ambos? Ou isso não é relevante? Afinal de contas, onde está o elo entre o signo e o objeto entre suas principais conexões?   

Concluindo parcialmente este trabalho podemos dizer que o número  surgiu de problemas geométricos que envolvem a imaginação humana e a natureza, enquanto o número e pode ter surgido de questões comerciais motivado pela relação com o próprio homem. O que nos deixa intrigado é a proximidade de seus valores 2,71828... para o número e, e 3,14...para . Será que existe outro número com qualidades tão importantes? Isto é obra de Deus? Do homem? Ou de Ambos?       

 

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